LionKing数据科学专栏

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概率论练习题(probability theory problems)

Q:事件和随机变量(random variables)之间相互独立(mutually independent)和两两独立(pairwise independent)分别是什么意思?

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Q:给定三个随机变量$X, Y, Z$,已知$X$和$Y$的相关系数(correlation)为0.8,$X$和$Z$的相关系数为0.8。问$Y$和$Z$的相关系数最大/最小为多少?

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Q:给定一个能够生成标准正态分布的随机数产生器,如果构造两个服从相关系数为$\rho$的标准正态变量:

$$\begin{bmatrix}X_1\\X_2\end{bmatrix} \sim N(\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1 & \rho\\\rho&1\end{bmatrix})$$

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Q:一个部落最初有一个人,在这个部落灭绝之前,每一天以四分之一的概率减少一个人,以四分之一的概率保持人数不变,以四分之一的概率增加一个人,以四分之一的概率增加两个人。问部落最终灭绝的概率。

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Q:有$n$对夫妻一起参加旅行团,导游随机从他们中间选了$k$位代表,问其中没有任何一对夫妻同时被选中的概率是多少。

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Q:从$1, 2, \ldots, n$中有放回地均匀随机采样,直到每个数字都见到过时停止。问采样次数$X$的期望是多少?

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Q:从$1, 2, \ldots, n$中有放回地均匀随机采样$m$次,问出现过的不同数字的个数$X$的期望是多少?

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Q:将一副没有大小王的52张扑克牌(deck of cards)随机打乱,问第一张A出现的位置$X$的期望是多少?

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Q:给定相互独立的指数分布随机变量$X_1 \sim Exp(\lambda_1), \ldots, X_n \sim Exp(\lambda_n)$。问$X_1$是其中最小的元素的概率$$\Pr[X_1 = \min\{X_1, \ldots, X_n\}]$$是多少?

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Q:飞机上有100个座位,按顺序从1到100编号,有100个乘客,他们分别拿到了从1号到100号的座位,这些乘客会按号码顺序登机并应当对号入座,如果他们发现对应号座位被别人坐了,就会在剩下空的座位随便挑一个坐.现在假设1号乘客疯了(其他人没疯),他会在100个座位中随便选一个座位坐下.请问:第100人正确坐到自己座位的概率是多少?

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Q:在圆周上随机抽取3个点,问圆心包含在他们构成的三角形内的概率是多少?如何写一个程序来验证你的结果?

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Q:给定一个未知概率的不均匀硬币,即一个能够生成$X \sim Ber(p)$但$p$未知的随机数生成器,如果生成一个$0, 1, 2, \ldots, M - 1$之间的随机数。假设随机数生成器是一个函数$f$,试写一个程序来生成需要的随机数。平均对$f$的调用次数/投掷硬币的次数是多少?可以如何优化?如果检验结果是否足够随机?

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Q:给定一个均匀硬币,如果构造一个概率为$p$的伯努利变量?其中$p$已知但不一定是有理数(rational number)。若均匀硬币生成器是一个函数$f$,$p$是一个传入的参数,写一个程序来生成$X \sim Ber(p)$。

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Q:假设$X_1, \ldots, X_n$是相互独立的$Unif(0, 1)$分布。问$X_1 \gt X_2 \gt \ldots X_n$的概率是多少?

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Q:给定$m$个黑球$n$个白球,将它们随机打乱,然后一一取出,问第二个取出的球是黑球的概率是多少?

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Q:假设有一支可以装载6发子弹的左轮手枪,其中有两个随机的子弹槽装载了子弹。甲和乙轮流进行俄罗斯轮盘赌:甲第一个射击没有中弹,现在乙可以选择继续射击或者将子弹槽重新转动再射击,问两种选择中弹的概率分别是多少?

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Q:假设随机变量$X$和$Y$独立,且分别服从$Unif(0, 1)$。问$X + Y \gt 1.5$的概率为多少?

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Q:将一条长度为1的线段在线段上随机两点处切开,能得到的三条线段首尾相接能得到三角形的概率是多少?

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Q:假设一条长度为1的线段上有$n$只蚂蚁,每只蚂蚁的位置完全随机。假设所有蚂蚁同时开始以单位速度移动,并且每只蚂蚁选择一个随机的方向开始。当两只蚂蚁相遇时,它们以单位速度向反方向继续移动。问最后一只蚂蚁离开线段的时间的期望是多少?

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Q:一个盒子里面有2张扑克牌有正反两面,有1张扑克牌只有正面。随机地取出了一张牌看到了正面,求该扑克牌的对面也是正面的概率。

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Q:我国的驾照科目一考试的题库为1000题,你下载了一个手机App可以进行模拟考试。每次模拟考试会从这1000题中随机选出100道不重复的题。如果你进行了10次模拟考试,那么你见到过的题库中的题目数量的期望值为多少? 写一个程序验证这个结果。

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Q:对于$1, 2, \ldots, n$的随机排列$a_1, \ldots, a_n$,相邻两个元素恰好相差1的个数$X$的期望为多少?例如2, 3, 4, 1对应(2, 3), (3, 4)两对,$X = 2$。

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Q:在一种彩票中,一张彩票上有9行9列的格子,其中有两个格子是黑色的, 如果这两个黑色格子是相邻的(对角线相邻不算), 则可以中奖。问该彩票的中奖概率和期望进行多少次抽奖后可以中奖。

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Q:有一个男生被$n$名女生先后追求, 该男生对每名女生有一个打分,且每个女生的打分为独立地[0, 1]上均匀分布。该男生无条件地接受前来追求的第一个女生作为女朋友。对于之后的每位女生,只有当该女生地打分比男生的现女友高时,该男生与现在的女朋友分手并且接受这位更优秀的女生。问该男生接受过的女生的个数的期望为多少?

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Q:某大公司有这么一个规定:只要有一个员工过生日,当天所有员工全部放假一天。但在其余时候,所有员工都没有假期,必须正常上班。这个公司需要雇用多少员工,才能让公司一年内所有员工的总工作时间期望值最大?

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Q:甲乙两人轮流扔一枚硬币,先扔到正面的人取胜,问甲的获胜概率?

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