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几何方法(geometric method)

几何方法是指利用几何意义来解决概率问题。一般来说应用于均匀分布的问题。

一般来说,几何方法能解决这样的问题: 一个点在图形A中均匀取值,问这个点在图形B中的概率。

我们只需要计算图形A的面积$S_A$和图形A与图形B交集C的面积$S_C$,则概率为$\frac{S_C}{S_A}$。因为在$S_A$的面积中,只有$S_C$这部分属于图形B。

我们来看几个例子。

Q:假设$X$和$Y$独立且服从Unif(0, 1),问$\Pr[X^2 + Y^2 \leqslant 1]$。

此题的标准做法是考虑双重积分,计算复杂且毫无美感。

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使用几何方法既简单又符合直觉:考虑点$(X, Y)$,为单位正方形$(0, 1) \times (0, 1)$中的均匀采样。

符合$X^2 + Y^2 \leqslant 1$的区域为以0为原点,1为半径的圆盘(B),该圆盘与$(0, 1) \times (0, 1)$的交集为四分之一圆盘(C),面积为$\frac{\pi}{4}$,而单位正方形(A)的面积为1。因此概率为$\frac{S_C}{S_A} = \frac{\pi}{4}$。

练习题

Q:甲乙约定在某地,忘了约时间,只知道七点到八点见面,他们都打算于七点到七点四十五随机时刻到达某地,然后等十五分钟,如果两人没见面就走人,问他们见面的概率是多少?

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