本文介绍条件概率与贝叶斯公式。
条件概率(conditional probability)
条件概率$\Pr[A|B]$必须定义在两个事件A和B上，含义是在B发生的条件下，A发生的概率。
可以想象B是已经满足的条件，条件概率即是在给定条件下A事件的概率。除非A与B独立，否则B的发生会影响A，因此一定有$\Pr[A|B] \neq \Pr[A]$。
数学上，$$\Pr[A|B] = \frac{\Pr[A \cap B]}{\Pr[B]}$$为A与B同时发生的概率与B发生的概率的比例。
几何上，可以用文恩图表示事件A与B:
B已经满足条件可以看作全集是B，即黑色圈出的区域，在该区域中发生A，对应A与B的交集区域。因此概率为A与B交际区域的面积与B的面积的比例。
全概率公式(law of total probability)
全概率公式非常直观，其含义是如果有一些互斥的事件$B_1, \ldots, B_k$，它们的并集为全集。则任何事件$A$发生的概率可以拆分为每一个$A \cap B_i$的概率之和。
几何上,
A被$B_1, \ldots, B_k$划分成了$A \cap B_1, A \cap B_2, \ldots, A \cap B_k$，因此A的概率为这些划分出来的事件的概率之和。
数学上,
$$\Pr[A] = \sum_{i=1}^{k}\Pr[A \cap B_k]$$
由条件概率的定义，等价于
$$\Pr[A] = \sum_{i=1}^{k}\Pr[B_k]\Pr[A|B_k]$$
当A事件取决于$B_1, \ldots, B_k$中的哪一个发生时，直接计算$A$事件的概率非常困难，可以转而计算$B_i$的概率和$A|B_i$的条件概率。
全概率公式是贝叶斯公式的基础。
贝叶斯公式(Bayes' theorem)
贝叶斯公式对于两个事件A和B定义。如果我们希望计算$A|B$的条件概率，那么由于
$$\Pr[A|B] = \frac{\Pr[A \cap B]}{\Pr[B]}$$
以及$$\Pr[B|A] = \frac{\Pr[A \cap B]}{\Pr[A]}$$
我们有如下贝叶斯公式:
$$\Pr[A|B] = \frac{\Pr[B|A]\Pr[A]}{\Pr[B]}$$
贝叶斯公式一般结合全概率公式使用，我们以一个简单的例子说明:
某城市发生了一起汽车撞人逃跑事件，该城市只有两种颜色的车，蓝20%绿80%，事发时现场有一个目击者，他指证是蓝车，但是根据专家在现场分析，当时那种条件能看正确的可能性是80%，那么，肇事的车是蓝车的概率是多少？
我们的观测(evidence)$B$是目击者指证蓝车，需要计算肇事车是蓝车这一事件$A$的条件概率$\Pr[A|B]$。
由贝叶斯公式,$$\Pr[A|B] = \frac{\Pr[B|A]\Pr[A]}{\Pr[B]}$$
由题目条件，$\Pr[A] = 0.2, \Pr[B|A]$为看正确的概率0.8。
直接计算目击者指证蓝车的概率并不容易，但是我们可以利用全概率公式：
$$\Pr[B] = \Pr[A]\Pr[B|A] + \Pr[A^c]\Pr[B|A^c]$$
其中$A^c$为$A$的反面，即肇事车是绿车。
有题目条件, $\Pr[A^c] = 0.8, \Pr[B|A^c]$为看错的概率0.2。
从而有，$$\begin{align*} \Pr[A|B] &= \frac{\Pr[B|A]\Pr[A]}{\Pr[B|A]\Pr[A] + \Pr[B|A^c]\Pr[A^c]}\\ &= \frac{0.8 \times 0.2}{0.8 \times 0.2 + 0.2 \times 0.8}\\ &= 0.5 \end{align*}$$
一般地，也可以将全集划分为多个事件$A_1, \ldots, A_k$，计算$$\Pr[A_1|B] = \frac{\Pr[A_1]\Pr[B|A_1]}{\sum_{i=1}^{k}\Pr[A_i]\Pr[B|A_i]}$$
练习题
Q:有8个箱子，现在有一封信，这封信放在这8个箱子中每一个的概率均为1/10, 不放在任何一个箱子的概率为1/5, 现在我打开1号箱子发现是空的，求下面7个箱子中含有这封信的概率？
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